Matemática básica Ejemplos

$\frac{\frac{21 y^{2} + 4 y - 1}{5 y + 3}}{\frac{3 y + 1}{10 y^{2} + y - 3}}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{21 y^{2} + 4 y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 21 \cdot - 1 = - 21$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$\frac{21 y^{2} + 4 (y) - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Paso 2.1.2

Reescribe $4$ como $- 3$ más $7$

$\frac{21 y^{2} + (- 3 + 7) y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{21 y^{2} - 3 y + 7 y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(21 y^{2} - 3 y) + 7 y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 y (7 y - 1) + 1 (7 y - 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $7 y - 1$ .

$\frac{(7 y - 1) (3 y + 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Paso 3

Cancela el factor común de $3 y + 1$ .

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Paso 3.1

Factoriza $3 y + 1$ de $(7 y - 1) (3 y + 1)$ .

$\frac{(3 y + 1) (7 y - 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(3 y + 1) (7 y - 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7 y - 1}{5 y + 3} (10 y^{2} + y - 3)$

Paso 4

Multiplica $\frac{7 y - 1}{5 y + 3}$ por $10 y^{2} + y - 3$ .

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} + y - 3)}{5 y + 3}$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 10 \cdot - 3 = - 30$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} + 1 y - 3)}{5 y + 3}$

Paso 5.1.2

Reescribe $1$ como $- 5$ más $6$

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} + (- 5 + 6) y - 3)}{5 y + 3}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} - 5 y + 6 y - 3)}{5 y + 3}$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(7 y - 1) ((10 y^{2} - 5 y) + 6 y - 3)}{5 y + 3}$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(7 y - 1) (5 y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1))}{5 y + 3}$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y - 1$ .

$\frac{(7 y - 1) ((2 y - 1) (5 y + 3))}{5 y + 3}$

$\frac{(7 y - 1) (2 y - 1) (5 y + 3)}{5 y + 3}$

Paso 6

Cancela el factor común de $5 y + 3$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(7 y - 1) (2 y - 1) (5 y + 3)}{5 y + 3}$

Paso 6.2

Divide $(7 y - 1) (2 y - 1)$ por $1$ .

$(7 y - 1) (2 y - 1)$

Paso 7

Expande $(7 y - 1) (2 y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 y (2 y - 1) - 1 (2 y - 1)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 y (2 y) + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y - 1)$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 y (2 y) + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$7 \cdot 2 y \cdot y + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 8.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1.2.1

Mueve $y$ .

$7 \cdot 2 (y \cdot y) + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$7 \cdot 2 y^{2} + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 8.1.3

Multiplica $7$ por $2$ .

$14 y^{2} + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$14 y^{2} - 7 y - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 8.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$14 y^{2} - 7 y - 2 y - 1 \cdot - 1$

Paso 8.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$14 y^{2} - 7 y - 2 y + 1$

Paso 8.2

Resta $2 y$ de $- 7 y$ .

$14 y^{2} - 9 y + 1$